(동역학) 에너지 보존 법칙

일과 에너지법칙은 문제를 해결하는 하나의 툴이라고 했다. 에너지를 알았으니 그를 이용한 또다른 툴을 생각해보자.

일과 에너지법칙에서 사용한 에너지는 엄밀히말하면 '운동에너지'였다. 질점이든 강체든 운동을할때 에너지는 하나의 형태에서 다른 형태로 변환될수있다. 운동에너지도 에너지의 하나의 형태이다. 이때 형태가 변환되어도 전체 시스템의 역학적에너지는 일정하게 유지된다. 이를 에너지 보존 법칙 이라고한다.

에너지 보존 법칙을 논하기 위해선 .. 그래서 운동에너지말구 어떤 형태의 에너지가 있는데? 를 알아야한다

경사면을 미끄러져 내려오는 질점을 생각해보자. 질점에 변위가 발생하는동안 무게 W가 한 일은 위와같다. 이때 한 일의 공식을보면 그냥 높이차이다. 질점이 직선경사면을 타고 올라가든, 미끄럼틀을 타고 올라가든 결과는 같다. 

중력 W가 한 일을 위와같이 Vg1-Vg2로 표기할수있는데 이 함수를 중력 W에 의한 물체의 위치에너지(potential energy)라고한다. 

위치에너지 함수를보면.. 그냥 y의 델타값에만 결과가 바뀌는것을 알수있다(무게가 일정하다는 가정하에). 실제 y값이 얼마인지가 아닌, 델타값이 중요하기때문에 높이 y를 측정하는 위치, 기준은 맘대로 결정해도된다. 위에 y1은 지면으로부터 높이가 있지만 그냥 계산편의를 위해 y=0으로 두어도 상관없다는거다. 63빌딩에서 롯데타워 꼭대기로 공을 던질때, 63빌딩을 그냥 y=0 기준점으로 잡아도 된다.

또한, 위치에너지가 증가하면 일은 음이된다. 반대로 무게 W가 한 일이 양일때, 위치에너지는 감소하는 양상이다.

스프링 상황에서 탄성력에 의한 물체의 위치에너지는 위와같다. 앞에 경사면과 같은 메커니즘으로 일의 정의로 계산될수있다. x1에서 x2로 인장하는 상황에서 물체의 위치에너지 v는 증가한다. 이때 일U는 점점 더 빡쎈 음이된다. (절댓값이 커지는 음수.. 실생활에선 '작아진다'라고 하지만 물리에서는 그냥 방향의문제지 이걸 작아진다고 표현하기는 뭣하다)

여기서도 탄성력의 일은 처음과 마지막 스프링이 변형된 길이차로만 결정된다. (k는 상수)

 

여기서 생각한 특징(?)은 두가지가있다.

1. 막 위에서 밑으로 떨어지거나 올라가는 상황에서만 위치에너지를 논하는줄알았는데.. 중력이 관여하지않아도 스프링 힘등 다른힘에 대해서도 위치에너지를 논할수있구나

2. 위치에너지로 일을 결정할때는 딱 처음과 끝 변위만 이용해서 깔끔하게 계산할수있구나

 

이 두가지를 생각했다. 

 

이것을 하나의 원칙으로 일축해보면 "위치 A1로부터 A2로 이동할때 힘이 하는 일이 작용점의 경로에 독립적이면 위치에너지의 개념은 유효하다!" 이다. 이런 힘을 보존력(conservative force)이라 한다.

 

힘 F가 보존력이라면 힘 F가 한 일은 위와같이 쓸수있다. 경로가 곡선이든 뭐든 그냥 처음위치의 위치에너지와 마지막 위치의 위치에너지를 이용해 계산한다. V는 힘 F의 위치에너지 혹은 퍼텐셜함수(potential function)라한다. 

그렇담 질점이 뺑뺑돌아 제자리로 돌아오면? 즉, A1과 A2이 같다면?

질점이 지구한바퀴를 뺑 돌아서 제자리로 왔다고해보자. A1=A2이므로 V1=V2이다.(위에서봤듯, 위치에너지는 질점의 위치에 의해서만 결정된다.)  질점의 운동경로는 폐곡선이고 결국 힘이 한 일은 0이다. 적분기호 위 동그라미는 폐곡선에 대한 적분을 의미한다.

 

위치에너지의 요런 특성을 알아봤으니 이제 이걸 써먹어보자

일과 에너지법칙과 포텐셜함수를 연립하면 위와같이 정리할수있다. 초기 위치에너지+운동에너지는 나중의 위치에너지+운동에너지와 같다. 이 운동에너지와 위치에너지의 함을 전체 역학적 에너지(total mechanical energy)라고 한다. 이것이 에너지 보존법칙이다.

 

책상위에서 병뚜껑을 튕길때 병뚜껑은 일정거리 쭉 미끄러지다 멈춘다. 근데 에너지 보존법칙에 의해 병뚜껑은 계속 움직여야하는거 아님? 처음 튕기고 1초후 위치를 A1, 2초후 위치를 A2라 했을때 처음 딱 튕긴이후로 받는힘은 두 위치에서 똑같이 없으므로 운동에너지가 보존되서 계속 쭉 가야하는거 아님? -> 마찰력이 있잖아!! -> 근데 마찰력도 에너지 보존법칙에 포함해버리면 똑같은거 아닌가?

뭔가 빡치는데 반박을 못하겠다. 하지만 이러한 생각에 반박을해보자

 

앞서 위치에너지는 보존력에 대해서 유효하다고했다. 보존력은 힘이 하는일이 질점경로에 무관한 힘이다. 마찰력은? 마찰력이 한 일은 경로에 무관하지않다. 경로의 길이, 지면으로부터 각도 등 경로정보에 아주 크게 영향을받는다. 그러기에 마찰력의 일은 위치에너지의 변화로 나타낼수없다. 역학적 계가 마찰을 포함하면, 계의 역학적 에너지는 보존되지않고 감소한다.