(동역학) 뉴턴 제2법칙과 선형운동량

뉴턴의 제 2법칙을 수식으로 표현하면 F=ma. 말로 표현하면 질점은 합력의 크기에 비례하는 가속도를 갖는다.. 이다.

이 법칙은 동역학에서 질점이 어떤 운동을할때 사용할수있을까? '질점'자체가 질량을 고려하는 요소이므로.. (질점 : 역학적으로 질량을 갖고있으면서 부피가 없는 물체 라고한다 by 네이버사전) 질량 m은 존재하기때문에 질점의 힘과 가속도를 논할때 유용히 쓸수있는 법칙이다. 반대로 힘과 움직임(가속도)으로 질점의 질량을 구할수도있다.

 

뉴턴 제 2법칙으로 물체가 가속될때 (=물체 속도의 크기나 방향이 바뀔때) 물체에 작용하는 힘에 대한 물체의 운동을 해석할수있다. "질점에 작용하는 외력의 합이 0이 아닐 때 질점은 합력의 방향으로 합력의 크기에 비례하는 가속운동을 한다."

->요게 뉴턴 제2법칙을 말로 풀어쓴건데 F의 정체는 '절점에 작용하는 외력의합력'이고 '가속도의 방향은 합력의 방향과 같다'는거다.

그림에 오타가있다. F1=F2가 아닌 F1=-F2로 봐야한다. 만약 질량 m에 작용하는 두 힘이 크기가같고 방향이 반대일때 합력은 0이므로 질점의 가속도 a=0이다. 만약 이 질점의 초기속도가 0인경우(정지해있는경우) 계속 정지상태를 유지하고, v의 속도로 운동하고있었다면 v의 속도를 유지하며 계속 운동을한다.

가속도 a가 dv/dt임을 이용하면 뉴턴 제 2법칙을 F=m(dv/dt)로 표기할수있다. m은 상수이므로 미분식을 두번째줄과같이 쓸수있는데 이때 mv를 질점의 운동량(momentum) 또는 선형운동량(linear momentum)으로 정의한다.

 

 다시, 뉴턴 제 2법칙을 운동량을 이용해 표현하면 위와같다. 운동량 L의 미분 L'은 미분계수 정의에 의해 운동량의 변화율로 볼수있겠다. 그렇다면 위의 공식을 '질점에 작용하는 외력의 합이 0이면 질점의 운동량은 크기와 방향 모두 변함이없다' 라고 해석할수있다.

 

F=ma 가 도입되며 추가적으로 신경써야할것이 생겼다. 바로 단위이다. 차원이 다른 두 물리량을 곱했으므로 단위를 맞춰줘야한다. 가장 일반적인 단위는 F:N ,m:kg ,a=m/s^2인데 당연히 상황에따라 각 물리량이 단위정리가 안된채로 주어지는 경우가 많다. 이때 그냥 냅다 곱해버리면 F와 ma는 '비례하는 관계'는 맞으나 ma가 정확히 F를 나타내지는 않는다..

 

F=ma를 논했으므로 본격적으로 물리시스템을 해석해보자. 

물리시스템 해석의 Step1은 누가뭐래도 FBD를 잘 그리는것이다. FBD는 Free Body Diagram의 약자로 그냥 자유물체도이다. 나중에 문제풀다보면 약자를 쓰게되어 그냥 F.B.D라고 한다.  FBD를 잘 그리기만해도 시스템 해석의 나머지단계가 매우 수월해진다. 다만 FBD를 그리는중 몇가지 힘을 누락한다거나 방향이 틀린다던가.. 한다면 완전히 오답을 내놓을수있다.

 

요런 상황에서 FBD를 그려서 문제를 해결해보자. FBD를 그리기위해선 시스템에 힘이 가해지는 part와 땅바닥, 벽 등등 object를 detach해야한다.(이 문제에선 땅바닥과 질량을 서로 detach해줘야한다.) 만약 질량이 저런 직육면체모양이 아닌 디게 이상한 막...하울의 움직이는성마냥.. 그런 질량이라면? 질량 자체를 detach해도되고, 안해도된다. 다만 하는게 편한상황도 많이있다. 

이제 이 질량에 가해지는 힘의 종류들을 다 파악해보자. 일단 명시된 P가있고.. 질량이 땅바닥에 가하는 무게, 무게에 대한 반력(수직항력), 질량이 땅바닥과 마찰하며 이동할때 발생하는 마찰력.. 정도가 있을것같다.

 

마찰력을 정의했으므로 급하게 마찰계수를 추가했다. 왼쪽과같이 FBD를 그려봤고 오른쪽은 '그래서, 어떻게 운동하는데?' 를 시각화한 운동역학 선도(kinetic diagram)이다. 여기엔 깔쌈하게 최종적인 방향별 F=ma만 한개씩 기술한다. 그림으로 표기할땐 꼭 좌표계도 같이 동봉해야한다. 단순 화살표만으론 FBD에서의 오른쪽과 운동역학 선도의 오른쪽이 같은방향을 의미하는지 알수없는것이다.

 

FBD를 기반으로 x,y방향별 힘의 합력을 구해주자. x방향으로 가속도 a만큼 운동하므로 x방향 힘 합력의 결과는 ma, y방향으론 정지해있으므로 y방향 힘의 합력은 0이다. 변수를 대입해 계산해주면 결과를 얻을수있다.

 

이렇게 뉴턴 제 2법칙과 운동량, 그리고 FBD까지 한번 그려봄으로써 역학공부를 할 기본세팅이 끝났다. 슬슬 유기마려운데 내용도 내용인데 문제를 풀어보는것도 필요하니 갈길이 꽤나멀다