(동역학) 일과 에너지

지금까지 물리시스템을 거의 F=ma 원툴로 해석해왔다. 이번엔 F=ma에서 파생된 새로운 툴을 알아보자. 

특정 물리시스템에서 F=ma보다 유리한 해석 method를 배우는.. 그런 느낌인가보다. 그러기위해 일, 에너지라는 새로운 물리량을 정의해야한다.

 

일과 에너지 법칙(method of work and energy)는 가속도를 결정할 필요가 없다는 특징이있다. F=ma와는 다른 방법이다. 일과 에너지법칙은 힘, 질량, 속도, 변위를 이용해 물리시스템을 해석한다. 

물리시스템이 주어졌을때 F=ma, 일과 에너지 법칙 두 툴을 비교해 더 유리한걸 사용하면 된다. (예전에 모 물리교수가 자신은 물리 문제를 풀때 아는공식을 다 적어두고 뭘쓰면좋을지 생각해서 공식을 골라쓰는 방법으로 문제를 풀었덴다.)

 

일(work)을 정의해보자. 힘 F가 질점에 작용해 r만큼의 변위를 만들었다면 일은 힘과 변위의 내적으로 구할수있다.

두 벡터를 내적하므로 일은 스칼라량이다. 단위는 J(줄) 혹은 Nm을 쓴다.

내적한값의 부호는.. 그냥 정사영내렸을때 방향반대면 음, 같으면 양, 직각이면 0으로.. 정사영으로 생각한다. (나는)

 

근데 위에 dU라는 표현이 이상하다. 적분마렵다.  위는 dr정도의 조그만 변위.. 국부움직임에 대한 표현이고, 질점이 움직일때 지점 A1부터 A2까지 움직이는동안 힘이 한 일은 적분을해서 구할수있다.

위 그림에서 경로 A1부터 A2까지 변위가 발생할때 힘이 한 일을 구해보자. 아래 힘-변위(위치) 그래프의 면적이 곧 일이다.

경로그림을 기억하며 공식을 보자

질점 변위에 대해 F가 한 일은 F와 국부변위 내적값을 적분하는것이다. 이때 적분변수가 국부변위 r에서 전체변위 s로 바뀐다. 나머진 내적 정의이므로 끄덕끄덕

이제 몇몇 대표적인 운동에서 힘이 하는일을 구해보자. 직선운동에선 ds 정적분값이 그냥 직선변위 그 자체이다. 

질점이 자유낙하하는 상황이다. F=-mg이므로(위 그림에서 W로 표현) 계산결과는 위와같다. 처음에 여기서 의아했던건.. W=-mg라면 아래(y-방향)로 떨어질때 y1-y2는 음수이므로 양의 일을 하는게 맞다. 근데 W=-mg일까 mg일까? 갑자기 여기에 꽃혀서 생각을하니 머리가 띵해졌다. 그럴땐 그냥 머릿속에서 변위벡터위에 힘벡터를 정사영내리는게 제일편하다. 아래로 떨어지는데 힘벡터도 y-방향이므로 정사영내리면? 일은 양의값을 갖는다. 

스프링의 복원력 F=kx가 하는일도 생각해보자. 변위와 복원력이 작용하는 방향을 잘 생각해보자. 변위가 커질때 복원력은 스프링이 줄어드는 방향으로 작용하므로 서로 반대이다. 복원력이 한 일은 음수이다.

 

이렇게 힘과 변위의 내적이라는 기본형태로 여러 상황에서의 일을 구해보았다. 일은 얼추된거같고.. 원래 하려던게 일과 에너지법칙이므로 이제 에너지를 구해보자.

질점에 가해지는 힘을 왼쪽과같이 접선방향성분과 법선방향성분으로 나눌수있다. 이 내용은 앞서 Chapter 1에 나왔었는데 오른쪽 recall을 참고하자. 접선방향의 가속도성분은 dv/dt이고 뉴턴 제 2법칙에 의해 Ft=m(dv/dt)이다.

계산을 쭉 전개해보면 요래된다. Ft는 F를 경로의 국부변위위에 정사영내린값이므로 내적을 한 효과가있다.식의 우항은 왼 질량과 속도제곱을 곱한값의 1/2값이 나오는데 우린 이걸 운동에너지라고 부르기로했어요.

결국 일과 에너지법칙이란 "힘 F가 질점을 A1에서 A2로 움직였을때, 힘 F가 한 일은 A2에서 질점의 운동에너지와 A1에서 질점 운동에너지의 차와 같다.(운동에너지의 델타값이다.)" 

일은 두 벡터의 내적이므로 스칼라랬다. 에너지에 일을 더하니 에너지가 나와? 덧셈연산으로 등호가 성립하는걸보면 에너지도 스칼라임을 알수있다. 그리고 덧셈연산만으로 등호가 성립하니.. 단위도 같은거아냐?

운동에너지는 (1/2)mv^2이므로 단위는 (kg)(m^2/s^2)일거다. 일의단위는 위에서 J또는 Nm이라했다. 이때 N=kgm/s^2 이므로 오 개소름. 단위도같다. 

 

일과 에너지의 단위는 같다. J또는 Nm으로 표기하자

 

일과 에너지법칙이 뭔지 알아버렸다. 위에서 F=ma원툴로 해석하기 싫어서 이 법칙이 필요하댔으니 구체적으로 이 법칙의 쓰임예시를 봐야겠다.

오늘도 어김없이 Pendulum예시이다. A1,A2지점에서 운동에너지를 구하고, FBD를 그려서 질점에 작용하는 힘을 구한뒤, 힘과 그 힘으로 인해 발생하는 변위를 짝지어줘서 일을 구한다 -> 요게 중요한듯 짝을 잘못지어주면 틀린다. 위 Pendulum에는 중력과 장력이 작용하는데, 장력에 의한 변위는 경로이고, 중력에 의한 변위는 l이다. 장력은 경로의 법선벡터이므로 내적하면 0. 장력이 한 일이 0이다. 일과 에너지법칙으로 속도 v2를 구할수있다. 

일과에너지 법칙을 이용하면 가속도에서 적분적분 안해도되고 일이 0인 힘은 무시할수있다.

 

훌륭한 학기맞이를 위해 복습을하고있는데 이제 진짜 개강이라니 억장이 와르르무너진다

건실하게 살겠습니다. 지켜봐주십쇼.