(동역학) 일반 평면운동의 속도

강체의 운동학 Chapter의 두번째 소챕터, 일반평면운동이다. 앞에서 병진운동과 회전운동을 논했는데 .. 방향개념이 좀 어려웠다. 벡터 삼중적, 회전에서의 각속도, 각가속도의 방향개념때문에 시간이 많이걸렸는데 결국은 잘 이해못했다. 문제좀 풀다보면 느낌을 얻지않을까?

 

앞서 정리할때 강체의 운동중 병진운동과 회전운동을 정리해봤다. 이번엔 세번째 운동인 일반 평면운동을 논해보자. 순수 병진운동이나 순수 회전운동이 아닌 경우를 일반 평면운동으로 정의한다. 일반평면운동은 병진운동과 회전운동의 합이다.

운동을 병진운동, 회전운동 두 파트로 나눌수있다는건데 예시를 들어보자

위와같이 굴러가는 드럼통을 상상해보자. 그냥 데굴데굴 굴러가는 드럼통의 운동을 병진운동과 회전운동으로 나눌수있다. 처음 그림에서 직선변위는 A1에서 A2로, 각변위는 B1에서 B2만큼 발생했으므로 A1에서 A2로 이동한 병진운동과 B1에서 B2로 회전한 회전운동의 합으로 나타낼수 있는것이다.

링크기구

드럼통예시는 살짝 섬뜩하니 다른 예시를 들어보자. 기구설계시 많이 써먹는 링크기구이다. 링크기구의 작동은 위 동영상으로 첨부해놨다. 작년에 Solid Works로 만든 샘플 중 하나ㅋ 슬라이더가 십자모양의 링크 경로위에서 미끄러지듯 운동한다.

위의 작동 영상을 봤다면 이 그림에서 링크의 동작을 이해하기 수월할것이다. 링크가 운동할때 역시 병진운동과 회전운동의 합으로 나눌수있는것이다. 여기서 주목할점은, 위와같이 A의 운동을 병진운동, B의 운동을 A를 중심으로하는 회전운동으로 정의하고있다는 것이다.

 

위 두 예시에서 질점 B의 움직임을 표현할때 회전중심 질점 A를 잡고 A의 병진운동 + A를 중심으로하는 B의 회전운동 으로 표현했다. 

이런식으로, B의 절대속도를 앞 챕터에서 구한 수식으로 표현하면 위와같은데 이걸 일반 평면운동에 대입해보자. Va는 질점 A의 속도, V(b/a)는 A를 중심으로 하는 B의 회전운동 속도로 취급할수있다. 회전운동할때 질점의 속도는 앞에서 유도했듯 각속도와 위치벡터를 외적한값이다. 

링크예제를 속도의 관점에서 다시보자. V(a)는 병진운동 part, V(b/a)는 A를 중심으로하는 B의 회전운동 속도이다

이를 벡터 성분의 관점에서 보면 위와같다. 좌표계를 그림과같이 잡고 각각 V(a), V(b/a)를 i,j,k성분으로 분해해 구해준다. 이때 l은 링크의 길이이다. 계산을 이어가보자

식의 좌변에 j성분만 있으므로 i성분은 0, j성분은 '같다'로 두고 계산해보면 V(a)tan(theta)=V(b) 결과가 나온다. 이는 위에서 구한 벡터 도식화의 결과와 동일하다.

지금껏 B를 기준으로, B의 운동을 A의 병진운동과 A를 중심으로하는 B의 회전운동의 합으로 놓고 분석했다. 근데 이 기준이 꼭 B일필요는 없다. A를 기준으로 동일한 과정을 거쳐보자. A의 운동은, B의 병진운동과 B를 중심으로 하는 A의 회전운동의 합으로 나타낼수있다. 이때 벡터의 움직임을 도식화하면 띠용? 위에서와 결과가 같다. 이 결과는 비단 A,B뿐만 아니라 강체내 어느 질점이든 일반적인 결과이다. 이를 통해 '강체의 각속도는 기준점과 무관하다'는것을 알수있다.

 

"평면운동을 하는 강체의 각속도 w는 기준점과 무관하다"