(기계진동학) 자유응답

난 진동학의 진동을 Oscillation으로 표기하는줄 알았는데 기계진동학은 영문으로 Mechanical Vibration이다. 암튼 이건 중요한게 아니고.. 진동이 뭘까? -> 흔들리는거..ㅇㅇ 그럼 기계의 진동이 물리적으로 어떤의미를 가질까? 이건 나도 알못이라 한가지만으로 딱 이거다 정의할수없지만 대충.. 진동으로 인해 에너지의 변환이 일어난다. 위치 to 운동. 요런느낌

 

진동현상을 말할때 드는 가장 대표적인 예시는 스프링이다. 천장에 달려있는 스프링의 Free Body Diagram을 그려보자

FBD를 항상 이렇게 그리라고 배웠다(나는) 왼쪽그림엔 질량에 작용하는 모든 힘을 그려넣고 오른쪽엔 뉴턴 2법칙에 의한 힘의 총합을 그려넣으라고.. 원래 좌표계도 그려야하고 스프링을 다 detach한 그림으로 그려야하지만 그냥 그런갑다하고 넘어가자. 실제로 시험같은거 볼때 자유물체도를 그리라하면 질량만 남겨두고 다 detach한 형태로 & 좌표계도 반드시 명시해야한다. 여기선 그냥 아래방향을 x+방향으로 두자. 

왼쪽에 왜 무게 mg가 없냐 할수있지만 이미 무게가 반영된 평형위치에서 출발했다고 생각하자. 이 시스템의 진동방정식은 위와같다. 전형적인 m-k system 방정식이다. m,c,k system에서 c가 빠졌으므로 댐퍼가 없는 시스템.. 즉 운동에 방해받지않고 무한진동할수있는 시스템인가..? 생각해볼수있겠다.

 

스플링을 놓으면 팅 하고 튕기며 x축방향으로 왔다갔다 운동할것이다. 이 운동은 주기적이며 이 운동의 형태를 추측해보면 아래와같이 추측할수있다.

이 식이 갑자기 튀어나온이유는? 주기적인 운동을 표현하기에 가장 적합한 함수가 사인함수이기때문이다. 어떤 유도과정에서 기인한거라기 보단 그냥 운동을 묘사한 방정식정도로 이해하면된다.

그럼 사인곡선이면 무한진동아님? -> 맞다. 위의 운동은 m-k system으로 damper가 없다. 이론상 무한진동이다.

 

여기서 A는 진폭(amplitude)로 변위의 최대값을 의미한다. Wn은 각고유진동수(angular natural frequency)로 함수의 반복 주기를 결정한다. pi는 위상으로 함수의 초기값을 결정한다. 여기서 각도관련 변수는 단위를 rad으로 사용한다.

위의 운동 방정식의 그래프를 그려보면 위와같다. 무한히 진동하는 사인곡선인데 이때 x축은 시간 t, y축은 변위 x이다. 사인곡선의 개형이 1회 반복되는 '시간'을 주기라고 한다. 주기 T=2pi/Wn이고 그 단위는 초(s)이다. 또한 위상의 변화는 pi/Wn(여기서 말하는 pi는 그림에서 보다시피 위상 pi를 말하는것이다. 위 주기공식에서 pi는 진짜 3.14 그 pi를 말하는것 ㅇㅇ..)만큼 발생한걸 알수있다. 분명 운동방정식에는 pi만큼 이동하는데 왜 그래프 개형이 pi/Wn만큼 밀린걸로 표현될까?  그것은 x축이 시간이기때문. 

 

주기를 구하던 그래프의 위상을 구하던 고유진동수 Wn은 어디든 등장하는것을 알수있다. 그럼 고유진동수를 구해보자

진동하는 m-k system의 고유진동수는 위와같이 구할수있다. 

 

근데 여기서.. x'의 물리적의미는 운동하는 물체의 속도이다. 진동에도 속도개념을 도입할수있다. 속도중 초기속도를 생각해보자. 그래프가 y축과 만나는 지점은 초기위치, 초기위치에서의 접선의 기울기가 초기속도가 될것이다. 

위와같이 초기위치, 초기속도항을 구해봤는데 뭔가 진폭 A를 이 두개항으로 정리할수있을것같다. 한번해보자

이런식으로 진폭을 초기위치, 초기속도 즉 초기조건 텀으로 구할수있다. + 위상 pi도 마찬가지. 위 tan(pi)의 arctan을 계산하면 구할수있다.

위에서 기술한 운동을 자유응답(free response)이라고 한다. 자유응답이란 t=0이후 시스템에 외력이 가해지지않는상태의 응답을 의미한다.