(Robotics) 동차변환행렬 (Homogeneous Transformation Matrix)

기준좌표계 A와 회전하는 링크 좌표계 B를 생각해보자. (원래 벡터표기할때 상단첨자를 왼쪽에 넣는다. 저 그림은 ppt에서 그린건데 도저히 ppt 수식에서 좌측 상첨자를 못찾아서 저렇게 쓴거임)

 

강체위 임의의 점 p의 위치벡터를 생각해보자. p^A = o^(AB) + p^B 로 나타낼수 있을까? 정답은 '없다'이다. 벡터 연산을 수행할때는 모든 벡터가 동일한 좌표계 내에서 표현되어야한다. 그러나 p^B는 좌표계 B에서 기술된 벡터이므로 이들간의 선형결합은 불가하다. 이때 사용하는게 회전행렬 (Rotation Matrix)이다. 회전행렬 유도과정은 아래 글에 친절히 설명되어있다.

 

https://cybernogada.tistory.com/73

(Robotics) 회전행렬 (Rotation Matrix)

 

회전행렬을 이용해 p의 위치벡터를 기술하면 아래와 같다.

첨자위치때문에 헷갈릴수있지만 좌표계 B에서 기술된 벡터 p^B를 회전행렬 R을 곱함으로서 벡터의 기준좌표계 변환을 수행한것이다. 이 벡터연산을 행렬과 벡터의 곱으로 표현할수있다.

3D이므로 R은 3x3, o^(AB)는 3x1, p^B는 3x1일것이다. 이를 유의해 행렬곱을 해석해보자. 먼저 열 방향으로 1이 붙는것은 뒤의 식을 계산해보면 납득이 간다. R^(AB)와 p^(B)가 곱해진후 + O^(AB)텀을 위한 1이다. 이때 행렬의 크기를 맞춰주어야 하므로 p^A의 열방향에도 1을 붙여준다. 이제 p^A 열방향에 붙은 1을 처리해주기 위해 0 0 0 (p^B가 3x1 size이므로. 3개의 0으로 상쇄), 1을 위한 1이 붙는다. 이런식으로 행렬을 해석하면 납득이 된다. 이 행렬을 간략히

처럼 나타낼 수 있다. 그리고 이때 행렬 T를 동차변환행렬(Homogeneous Transformation Matrix)이라 한다. 왜 Homogeneous 라는 표현을 썼을까 생각해보면 아마 차원(좌표계)을 균질..(Homogeneous)하게 맞춰준다는 뜻일까..? gpt 피셜로는 회전과 병진 행렬을 하나의 행렬로 통일시켜 균질하다는 표현을 썼다는데 진위여부는 모르겠다. 그러나 대충 느낌은 알겠다.

동차변환행렬의 형식이다. 이걸보면 왜 4x4가 나오는지 이해할 수 있다. 3D에선 회전행렬이 3x3, 위치행렬이 3x1이기때문에 둘을 선형결합 한 후 투시,스케일링 행렬과 합쳤을때 4x4가 나오는것이다.  투시, 스케일링이라니 뭔말? → 1x3 사이즈의 영행렬을 '투시행렬', 1x1사이즈의 '1'을 '크기조정행렬' 이라하는데 Robotics에선 그냥 [0 0 0 1]로 고정해둔다. (위의 행렬 계산을 보면 이 0,0,0,1값이 납득될것이다.)중요한건 그 위에 3x4 사이즈의 회전, 위치 행렬이다.

 

동차변환행렬을 이용한 p^A = T^(AB) p^(B) 위치벡터 변환식을 보면 이것의 쓰임을 짐작할 수 있다. 로봇팔이랑 동차변환행렬이랑 뭔상관??? → 로봇 manipulator 또한 base를 기준으로하는 기준좌표계가 있고 각 링크마다의 회전좌표계가 있다. 말단의 위치를 구하기위해 각 링크의 동차변환행렬을 구한후 베이스에서부터 동차변환행렬 T^0, T^1, T^2.....T^n(말단) 까지 곱해주면 베이스 좌표계로부터 말단의 위치와 방위를 구할수있다.