(수치해석) 미적분학과 Euler method 결과비교 (낙하산병 예제)

수치해석의 결과값은 근사값이다. 그럼 엄밀해를 구할수있는 문제에 대해선 엄밀해와 수치해석 결과를 비교하는 과정이 수반될것이다. 수치해석 전공책에 자주나오는 대표적인 예제인 낙하산병 예제를 한번 풀어보면서 미적분학으로 구한 엄밀해와 Euler법을 이용한 수치해석해를 비교해보자

 

위와같이 떨어지고있는 사람이 있다. 대충 공수훈련 받는중인걸로 하자. 낙하산병에게 작용하는 힘을 고려해 Free Body Diagram을 그려봤다. 여기서 재밌는점(?)은 수치해석 교재 판수에따라 항력이 cv^2일때도, cv일때도있다.(사실 재미없다) 둘중 더 복잡한 cv^2를 낙하산병에게 작용하는 항력으로 선정한다.

Free Body Diagram을 기반으로 힘 평형방정식을 세웠다. y'' =dv/dt가 될수있는 이유는 작용하는 힘이 y방향뿐이기때문에 그냥 단일방향운동 dv/dt로 생각한다. 만약 낙하산병이 새랑 부딪혀서 x방향으로 힘을 받는다면 그땐 속도값도 x,y방향으로 분리해서 생각해야한다. 평형방정식을 변수분리해서 정리하면 위와같다. 이제 수학적 기교(?)를 부려서 어떻게든 양변을 적분해내서 v를 t의 텀으로 정의해야한다. 

 

위식을 각 적분변수에 대해 적분가능한 형태로 바꿔줘야하는데 제일 눈에 띄는 힌트는... v^2텀이다. 이걸 합차공식으로 v에 대한 1차식으로 만든후 적분하면 자연로그가 튀어나온다. 그러나 문제는, 합차공식으로 했을때 분모는 두항의 곱의형태로 나온다. 곱의 형태에선 적분이 안되므로 두개를 찢어놔야한다. 

v^2을 v 두 텀으로 찢어서 각각 자연로그형태로 적분되는 꼴을 만들어보자. 합차공식을 기반으로 공통인자 s를 구할수있다.

위에서 구한 공통인자를 대입해 쭉쭉 계산해준다. 적분시 자연로그가 나오고 v텀을 로그밖으로 빼주면 위와같은 형태가 나온다. 이제 식을 정리만 하면된다. 일단 적분상수를 결정해줘야한다. 미지의 상수를 결정하기위해 initial condition 즉, 초기조건을 이용할수있다. 초기조건은 v(0)=0으로 가정한다

v에 대해 식을 정리해준다. 이때 우리가 아는 탄젠트 하이퍼볼릭 (tanh)의 꼴로 만들어주면 식을 간단히할수있다. 최종적으로 tangent hyperbolic으로 속도를 시간에대해 나타낼수있다.

여기까지가 미적분학으로 해석한 낙하산병의 속도이다.  

이제 Euler method로 낙하산병의 속도를 구해보자. Euler method는 초기값을 이용해 그 다음 step..그 다음 step..을 구해나가는.. 약간 귀납법스런 방식이다. time interval과 slope (x-y 기울기)를 알수있다면 Euler method를 이용해 문제를 해결할수있다.

Euler method로 해석한 낙하산병 예제이다. dv/dt를 미분계수의 정의로 나타내되 t를 0으로 limit시키지 않은 상태이다. 즉, 근사치이다. t가 0으로 수렴할수록 (time interval이 0에 가까울수록) error은 감소한다. 구하는것은 현재 시간에서의 속도이므로 식을 v(t (i+1))텀으로 정리하면된다.

위 식에 t=0부터 대입해서 속도를 구할수있다. 이때 중요한것은 initial condition과 time interval이 결정되야 한다는것이다. 이렇게 2초간격으로 속도값(의 근사값)을 구할수있다. 확실히 위에 미적분학으로 시스템을 모델링할때보단 훨씬 간단하다. 2초간격으로 값을 구해줘야하니 계산을 많이해야한다고? 괜찮다. 이것도 컴퓨터한테 시키면된다. 

 

이제 미적분학으로 구한 엄밀해와 Euler method로 구한 근사해를 비교해보자.

Geogbra로 결과를 시각화했다. 좌표값이 좀 다를수있는데 그 이유는 이 plotting 사진은 내가 예전에 푼거 우려먹기한거라 그렇다. 아마 항력계수랑 질량조건이 다를것이다. 나머지 식이랑 time interval은 같으니 괜찮다.

plot을 보면 초록색이 미적분학 엄밀해이고 파란색 점이 Euler method 근사해인데 time이 커질수록 error가 커진다. 계산의 규모가 커질수록 그만큼 error도 커지는것이다. 이때 error가 있지만, 전체적인 움직임(?) 개형은 미적분학 해석결과를 따라가는듯 하다. Euler 해 결과도 t가 증가할수록 일정한 error값을 유지하며 수렴하는 형태일것이다.