(동역학) 강체의 병진운동과 고정 축 회전운동

질점의 운동학을 빠르게 겉핥기로 훑어봤고 이제는 강체(rigid body)의 운동학을 논해보자. 강체 Part부턴 일반 동역학과목이 아닌 응용동역학 과목으로 분류될텐데 그만큼 복잡하시단건가?

강체 동역학의 내용자체는 질점의 동역학과 병렬적이지만 강체와 질점의 물리적 해석이 다르므로 같은 주제라도 내용은 매우매우 다를것이다.

 

공부를 시작하기전 내용구성을 보면 일단 강체의 운동학을 배운다. 기본적인 움직임, 운동, 속도 가속도 등에 대한 내용을 시작으로 강체에서의 F=ma, 일과 에너지 등 운동법칙을 적용시키는, 질점part와 병렬적인 구조이다. 먼저 강체의 운동중 병진운동과 고정축 회전운동에 대해 알아본다.

 

강체는 어떤운동을 할까? 강체의 운동은 크게 5가지 종류로 분류할수있다. 

1.병진운동 - 강체를 구성하는 모든 질점이 평행한 경로를 따라 운동한다 + 강체내 모든 직선이 방향을 동일하게 유지한다.

병진운동의 두가지 특징이다. 만약 질점의 운동 경로가 직선이라면 직선 병진운동(rectilinear translation), 곡선이면 곡선 병진운동(curvilinear translation)이라 한다.

 

2.고정 축에 대한 회전운동- 강체를 구성하는 모든 질점이 동일한 고정축을 중심으로 하는 원을따라 평행한 평면 내에서 움직인다.  는 운동을 '고정 축에 대한 회전운동'으로 정의한다. 워딩이 어려울수있는데 생각해보면, 하나의 막대기를 고정축으로 잡았을때, 이 고정축을 중심으로 하는 원은 무한개가 만들어질수있다. 이때 강체의 모든 질점이 이 무한개의 원 어딘가에서 운동하고있다면 고정 축에 대한 회전운동을 하고있는것...으로 생각한다.

또한 이 고정축이 강체 내를 지난다면 (관통한다면) 이 축 위에 위치한 질점들의 속도와 가속도는 0이다. 당연하다. 그냥 제자리에서 혼자 도는꼴이기 때문에..

 

위에서 5가지라고 했는데 일단 이 2가지 운동을 먼저 논해보자. 

 

병진운동은 강체를 구성하는 모든 질점이 평행한 경로를 따라 이동하는 운동이다.

강체의 두 질점 A,B를 찍었을때 원점에 대해 각각의 위치벡터를 위와같이 표기할수있다. 강체가 병진운동을 할때 이 두 질점은 같은방향으로, 평행하게, 동일거리를 이동한다. 즉, 이 둘을 잇는 벡터 r(b/a)는 크기와 방향이 일정하다. 

위치벡터를 time domain에서 미분했을때 r(b/a)는 크기/방향의 변화율이 0이므로 v(b/a)=0이다. 즉, 질점 a와 b의 속도, 가속도는 같다. 속도와 가속도는 벡터량이므로 '같다'는 의미는 '크기와 방향이 같다'는 것이다. 

병진운동을 상상할때 직선방향으로 병진운동만 생각할수있지만 곡선 병진운동도 존재한다. 

곡선병진운동은 질점 운동경로가 곡선인 병진운동이다. 매 순간 속도와 가속도의 방향은 바뀌지만, 그 순간에서의 속도/ 가속도는 모든 질점에서 동일하다. 같은방향으로, 평행하게, 동일거리를 이동한다고 했으므로 어떤 순간이든 두 질점을 잇는 벡터 r(b/a)는 일정하다. 

약간 롯데월드 바이킹이 생각나지 않는가? 근데 바이킹은 곡선 병진운동이 아니다.

대충 이게 바이킹이 운동하는 모습이다. 두 질점을 찍었을때 시간에 따라 r(b/a)가 변하는것을 볼수있다. 즉, v(b/a)텀이 살아있으므로 두 질점 A' B'의 속도와 가속도가 다를수있다는것이다. 이 경우 병진운동이라 볼수없다.

 

정리하면, 병진운동은 질점이 같은방향으로, 평행하게, 동일거리를 이동하여, 모든 질점은 주어진 순간에 동일한 속도/가속도를 갖는다.

 

위에서 고정 축에 대한 회전운동을 강체를 구성하는 모든 질점이 동일한 고정축을 중심으로 하는 원을따라 평행한 평면 내에서 움직이는 운동 으로 설명해놨다. 이게 무슨말인지 생각해보자

갈색? 금색? 타원형으로 보이는게 강체이다. 이 강체는 고정 축 AA'에 대해 회전운동을 하고있다. 강체 위 한점 P에서 회전축에 내린 수선의 발이 점 B이다. 이때 질점P는 점 B를 중심으로하는, 평면 위 원운동을 한다. 원의 반지름은 위 그림처럼 P의 위치벡터의 원 평면위 정사영 rsin(pi)이다. 이때 각도 pi는 고정축과 P의 위치벡터 r이 이루는각도이다. 

이제 원 평면위를 확대해보자. zx평면과 BP가 이루는 각도를 theta라 할때 P가 회전하며 그리는 원의 호의 길이는 위와같이 표기할 수있다. pi와 theta가 각각 어떤 각도를 의미하는지를 숙지하자. 

호의 길이를 이용해 질점 P의 속도를 구할수있다. 각속도의 방향은 강체의 회전에 대해 오른손법칙으로 구한다. 각속도는 회전하는 평면에 수직이다. 이제 질점 P의 속도의 방향은 각속도와 위치벡터에 오른손법칙을 적용해 구할수있다.

속도를 구했으니 미분하면 가속도도 구할수있다. 벡터 곱의 미분을 위와같이 해준다. 이때 각속도를 시간에 대해 미분한 dw/dt를 각가속도라 한다. 각가속도를 이용해 질점 P의 가속도를 위와같이 표현할수있다. a는 질점 p의 가속도이고 alpha는 회전에 대한 각가속도이다.

질점의 운동학에서 했던것처럼, 회전에서도 수학적 기교를 이용해 변위각, 각속도, 각가속도의 관계를 식으로 나타낼수있다. 회전운동이므로 그냥 거리-시간에서 각도-시간으로 바뀐것이다.

질점의 평면운동에서의 공식과 형태가 매우 유사하다. 그냥 변위 x-> 각도 theta, 속도 v->각속도 w, 가속도 a->각가속도 alpha로 바뀐것이다.

 

추가적인 내용이나 예제풀이는 .. 나중에 정리해봐야겠다