(동역학) 각운동량과 만유인력의 법칙
복습 폼이 어마어마하다. 이런것을보고 파죽지세(破竹之勢)라고 하는것 아닐까?
각운동량 들어가기전 뉴턴 제2법칙에서 한번 훑고넘어가면 좋을 부분..
발사체의 운동을 뉴턴 제 2법칙으로 해석한 예시이다. 속도, 가속도를 x,y,z 방향별로 독립적으로 해석했는데 힘 또한 벡터량이므로 방향별로 해석할수있다. 공기저항을 무시할때 비행중인 질점이 받는 힘은? 중력이다. 자체의 무게인 W=mg를 y-방향으로 받고있는것이다. 그렇다면 x,y,z방향별로 합력을 구했을때 위와같이 뉴턴법칙을 적용할수있다.
벡터로 해석하는건 학부1학년 기초물리학에 나오는내용인데, 난 1학년때 이 파트에서 살짝 의아한 부분이 있었다. 무게 W=mg면 단위는 N(뉴턴)인데 우리가 아는 몸무게는 단위가 kg아님..? 몸무게라는 표현은 물리적으로 잘못된거같다. 라고 생각하며 방금 나무위키를 찾아보니 원래 체중계의 단위는 kgf란다. 일상속 잘못된표현같다. 무게와 질량은 엄연히 서로 다른 물리량이다.
각설하고 각운동량을 논해보자.
운동량은.. 운동이 얼마나 쎄게 일어나는가를 수치화한 물리량이다. 그럼 각운동량은? 회전하는 물체의 운동량.. 이란거다 그냥 느낌만 안고가자면 네이버사전에서 본 예시인데, 똑같은 나무에 같은속력으로 달리는 오토바이와 트럭이 충돌할때, 트럭이 더 큰 피해를 주는 이유가 운동량때문이란다. L=mv에서 v는 같지만 m의 차이가 있으므로..
약간 이걸 회전운동에 적용시키는 그런느낌인듯?
각운동량의 정의이다. m은 스칼라이므로 선형운동량 L은 v의 방향을 따라간다. 이때 점 P의 위치벡터와 L을 외적한값을 질점의 각운동량으로 정의한다.
벡터를 외적하기때문에 각운동량도 벡터량이다. 크기는 (r)(mv)sin(pi)이고 방향은 오른손법칙을 이용하자. 위 그림의경우 엄지가 화면을 뚫고나오는 방향이다.
각운동량의 단위는 kg*m^2/s이다. 단위벡터 r의 단위가 m임을 숙지하자
각운동량은 벡터량이랬다. 벡터의 행렬표기는 위와같다. 처음봤을땐 살짝 갸우뚱했다. 그러나 벡터 외적의 정의에 의해 쉽게 수긍(?)할수있었다.
잠~시 공수책을 훑어보자. 벡터의 외적 정의이다. 두 벡터 a,b를 외적했을때 수식을 행렬식으로 표현한거다. 이걸 참고해 위에 각운동량의 행렬식을 이해할수있다.
다시 돌아와서.. 받아들였으므로 이제는 행렬계산을 통해 각운동량 H를 x,y,z 성분별로 나눌수있다.
이제 각운동량을 한번 미분해보자. 벡터함수로 나타냈으니 미분도 해볼만할거같다. time domain에서 미분해보면 곱의 미분공식에 의해 위와같이 전개된다. 결국 각운동량의 도함수는 rxF가 되는데 이는 돌림힘(또는 토크(또는 모멘트))이다. 결국 각운동량의 time domain도함수는 점 O에대한 합모멘트라고 할수있다.
"질점에 작용하는 힘의 O점에 대한 모멘트의 합은 O점에 대한 각운동량(또는 운동량의 모멘트)의 변화율과 같다."
고등 지구과학에서 케플러법칙을 배운적이있다. 케플러 제 2법칙 면적속도 일정법칙은 각운동량 보존으로 설명이 되었는데, 그럼 각운동량 보존은 언제 발생하는거지? 각운동량 보존법칙의 '발동조건'을 알아보자.
질점 P에 작용하는 유일한 힘F가 고정된 점 O를 향하거나 멀어지는 방향으로 작용할때 P는 중심력(center of force)하에서 이동한다고 말하며, O점을 힘의 중심점이라고 한다. 질점이 중심력하에서 이동할때 위치벡터 r과 F가 이루는각이 0도 혹은 180도이다. (위 필기엔 0도라고 적어뒀는데 생각해보면 F가 O에서 멀이지는방향일때 0deg이고, 가까워질때 180deg이다.
어쨌든 두 경우 모두 sin(pi)=0이므로 각운동량의 변화량이 0이라 할수있다. 즉, 각운동량이 일정하다는것이다.
"중심력하에서 이동하는 질점의 각운동량은 크기와 방향이 모두 일정하다" -> 각운동량 보존법칙
그렇다면 이런계산도 가능하다. 각운동량이 보존되므로 그 사이에서 각도 등 정보를 얻을수있다면 속도를 구할수있다. 반대로 속도를 알고있다면 각도를 구할수있다.
각운동량을 극좌표계에서 표현하는법도 알아야하는데 주인장 귀찮음이슈로 잠깐 나중에하겠다. base를 탄탄하게 하려면 공수 극좌표part부터 다시봐야겠다. (아무것도 기억나지않는 사람.)
위에서 중심력을 정의했는데, 태양에 의해서 지구 또는 행성에 가해지는 힘은 중심력의 한 예시이다. 서로 당기는 힘인 인력의 크기를 그림과같이 정의할수있다. 두 질량의 곱을, 두 질량사이 거리의 제곱으로 나눠 상수 G를 곱하면 두 질량사이 작용하는 인력의 크기이다. 두 질량은 서로 F,-F의 힘으로 끌어당기는것이다.
이게 뉴턴의 만유인력의 법칙이다. G는 만유인력상수(constant of gravitation)로 대략 6.67x10^-11 Nm^2/kg^2정도의 값을 갖는다. 질량을 가진 물체가 두개만 있다면 이 둘사이에 인력은 항상 존재하지만 그닥 의미있는 수치는 아니다. 나랑 노트북도 지금 이론상 서로 끌어당기고있는건데 전혀 느껴지지않듯.. 인력의 효과는 질량이 매우클때에만 의미있다. 만유인력 상수가 10^-11 scale인것만봐도..
뉴턴은 나무에서 사과가 떨어지는걸 보면서 중력을 생각했다는데 (물론 이건 msg가 가미된 썰이라는 의견이 유력하다.)
나는 사과가 떨어지면 씻어서 먹을생각을 하지 않았을까..? 그래도 씻어서 먹을생각을 하는거보니 너구리와 대등하거나 혹은 그 이상의 지능을 가진거같다.
근데 라쿤은 솜사탕도 씻어먹는다는데 만약 뉴턴시대에 태어났다면 나도 그러고있지않을까? 솜사탕을 씻어내는 너구리를 보며 어머 귀여워 라고 할수있음에 안도하고 감사한다. 역시 교육은 위대하다.