(동역학) 질점의 곡선운동

질점이 곡선운동을 하면서 달라진점은 일단 2D 평면좌표가 아닌, 3D 공간좌표상에서 해석을 한다는것이다. 곡선운동의 예시들을 떠올려보면 3D로 해석하는게 일반적이긴하다. 물론 2D 평면좌표상에서도 곡선운동은 얼마든지 할수있다.

 

공간좌표상에서 곡선 해석을하면서 물리량들을 벡터로 취급하는게 중요해졌다. 2D 직선상에선 방향이 앞뒤밖에 없었지만 여기선 곡선이 그려지는거에따라 방향이 실시간 바뀌므로.. 방향에 대한 취급도 중요하기에 벡터함수가 쓰인다.

 

질점이 곡선운동을할때 속도와 가속도를 구해보자

질점의 위치벡터 r, r'을 이용해 속도를 구할수있다. 벡터 연산으로 △r을 구하고 P에서 P'까지 이동하는데 걸린시간 △t로 나눈값이 절점의 '평균'속도이다.

직선운동에서와 마찬가지로 평균속도를 t->0으로 극한시키면 속도값을 구할수있다. dr/dt에서 r은 벡터함수임을 유의하자. 기하학적으로 해석해보면 P에서의 순간속도는 질점 운동궤적의 P에서의 접선과 같다. P'가 P에 점점가까워지면서 변하는 속도벡터를 잘 떠올려보자.

 

속도를 구했으니 가속도도 구해보자. 두 속도벡터의 출발점을 원점으로 옮겨와 속도벡터가 그리는 궤적을 생각해보자. 이 궤적을 호도선도(hodograph)라 한다.

 

속도와 마찬가지로 평균가속도에서 △t를 0으로 극한시키면 순간가속도를 구할수있다. 이때 가속도벡터는 호도선도의 접선벡터이다.

 

다시 원래 좌표계로 돌아와서.. 이 모든요소를 공간좌표에서 표현해보자. 질점의 운동궤적에 대해 가속도벡터는 딱히.. 접선방향도 아니고 위치벡터와 어떠한 관계가 있는거같지않다.

 

직선운동 part에서 위치-속도-가속도의 관계를 그래프로 표현했는데 여기선 좀더 나아가 벡터의 관점에서 관계를 표현할수있다. 그래도 여전히, 당연하게도 위치 t로 미분 ->속도. 속도 t로 미분 -> 가속도관계이다. 

 

곡선운동에서도 절점의 위치가 함수로 주어질경우 미분을 할수있어야한다. 근데 얘는 좀 다르다. 위치가 일반 함수가아닌

'벡터함수'로 주어지기때문이다. 

벡터함수는 i,j,k 성분이 독립된 함수로 주어진다. i,j,k성분은 각 x,y,z성분과같다. x,y,z는 변수로 많이 쓰이는문자이므로 i,j,k라는 문자로 대신한거같다 (이건 뇌피셜이다.) 공간좌표상 곡선을 x,y,z성분으로 쪼개서 해석하는건데 예를들면 위 그림에 그려진 빙글빙글 올라가는 스프링모양의 궤적 (전문용어로 원나선이라고 한다.)을 나타내는 벡터함수는 위와같다. 저 궤적을 x,y,z축으로의 움직임으로 분해해 나타낸것이다.

그렇담 벡터함수를 미분하는방법은 ? 그냥 i,j,k성분 함수를 각각 미분하는것이다. 어차피 독립적인 함수들이니... 

결국 위치벡터가 주어졌을때 속도벡터와 가속도벡터는 위와같이 구할수있다. 변수위에 점이찍힌 표기법은 뉴턴 표기법인데 주로 time domain에서 함수의 미분에 사용된다.

 

위와같이 i,j,k 성분별로 함수는 독립적이다. 우리가 앞으로 걷는 운동을할때 위아래로 이동하지는 않듯이... 서로 독립이라는것을 받아들인다면 물리시스템을 해석할때 메트릭스가 딱딱 정해져 훨씬 편해진다.

예를들어 x-y평면위에서 공을 던지는 상황을 생각해보자. 이때 질점의 속도, 가속도, 위치는 x,y,z를 따로따로 분리해놓고 생각해보면된다. 가속도..? 공기저항 무시할경우 x방향 가속도는 0, y방향으로 중력을 받으므로 중력가속도 -g, z방향으론 0이다. 발사시 초기속도 V0을 그림처럼 x,y방향 성분으로 나눠서 각각 Vx,0 Vy,0으로 각각 x,y의 초기속도로 생각해준다

결과적으로 공기저항이 없다면 질점은 x방향으론 Vx,0의 속도로 등속도운동, y방향으론 -g의 가속도로 등가속도 운동을 하고있다고 생각할수있다. 그러므로 아래와 같이 t초후 질점의 위치를 세울수있다. 이걸 벡터함수에 각 i,j,k에 넣어주면 되는것이다.

 

적분에 대한 이야기를 안했는데 적분은 그냥 미분의 역연산이다. i,j,k 따로따로 적분해주면된다.

 

Chapter 1 개대충  속성으로 복습을 해봤다. 아직까진 해볼만한듯..?