비선형 시스템의 선형근사화 (Linearization of physical system)

현실에서의 물리 시스템은 대부분?모두? 비선형이다. 이론과는 다르게 고려해야하는 변수가 많기때문에 ..
 
비선형모델을 선형근사화했을때 어떤 이점을 얻을수있을까? 시스템의 방정식이 간단해진다는건 그냥 생각해봐도 꽤나 큰 이득일것이다. 복잡한식보단 간단한게 낫지 ㅋㅋ
그밖에도 시스템에 대한 제어가 용이해지고 다양한 이론 및 연구결과를 적용할 수 있게된다.
 
대부분? 모든? 물리 시스템은 현실에선 궁극적으로 비선형이지만, 그중 대부분은 제한된 범위 내에서 선형성을 갖는다.
이 범위에서의 시스템을 계산해보는것이 '비선형 시스템을 선형화'하는 방법이다.
 
일단 그전에 어떤 시스템을 선형이라하고, 어떤 시스템을 비선형이라 하는지 알아야할것이다. 
선형 시스템은 superposition 'and' homogeneity 을 만족해야한다. 

superposition은 중첩. 즉 f(x1)=y1이고 f(x2)=y2라면 중첩된 x1+x2의 함숫값 f(x1+x2)=y1+y2이어야 한다는 것이다. 중첩된 해의 함숫값도 중첩되어야하는것이 superposition이다. 
homogeneity는 동질성. 즉 f(x)=y일때 x를 상수배한 kx의 함숫값 f(kx)=ky이어야 한다는것이다. 이 두조건은 and조건으로 superposition과 homogeneity를 동시에 충족할때 선형성을 갖는다고 말한다. 밑에 적어놓은 f=3x의 경우 이 두조건을 충족하므로 선형이라 할수있겠다.
 

또다른 예시를 생각해보자. y=3x+1은 직선형태이지만 y절편때문에 superposition과 homogeneity를 충족시키지 않으므로 선형이 아니다. 직선의 형태지만 선형성을 갖지않는 대표적인 예시이다.
 

비선형시스템 y=3x+1을 선형화해보자. 위에서 대부분 비선형 시스템은 제한된 범위 내에서 선형성을 갖는다고했다. 
그럼 그 '제한된 범위'는 뭘까? 
엄청엄청작은 △x, △y를 생각해보자. x = x0+△x,  y = y0+△y 일때 , 즉 시작점(혹은 기준점)으로부터 얼마 안떨어진... 지점이겠다. 예를들어, 자유낙하운동을 생각해보자. 고층빌딩에서 사과를 던질때 (실제론 던지면 안된다.) 제한된범위는 이제 막 떨어지기 시작한 시점... 63빌딩을 예로들자면 사과가 62.99층 높이쯤 있는시점이겠다. 이 제한된 범위에선 비선형시스템이 선형성을 가질수있다.
 

물리시스템을 예로들어 생각해보자. 대표적인 물리시스템 예시인 Pendulum 문제이다.
sin(theta)=theta로 선형화하는 과정.. 뭔가 익숙하다. 고등수학 초월함수의 극한에서 이미 배웠던내용이다. x=0에 근사할때 sinx의 x=0에서의 접선에 근사한다는것이다. 또한 토크 T는 theta가 0에 근사할때 같이 0에 근사하므로 지워준다.
선형화를 통해 이 물리시스템의 방정식이 훨씬 간단해졌다. I,m,g,L은 다 상수다. 위의 시스템을 초 간단하게 표현한것이다.
 
선형성을 갖는 조건, 제한된 범위에서의 계산.. 이 내용은 사실 역학과목에선 다 기본적으로 언급되는 내용들이다. 가끔 읽어보며 복습해야겠다